数字电路与数字逻辑之数制和逻辑代数基础

硬知❤知知 2019-09-09 11:07
47

版权声明:本文为博主原创文章,遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议,转载请附上原文出处链接和本声明。
本文链接:https://blog.csdn.net/ilgfcyll/article/details/79598228
一 数制
任意进制:


对于十进制对二进制的转换来说:整数部分除二取余,最先得到最低位;小数部分乘二取整,最先得到最高为。(这个可以对比十进制的科学记数法的运算)

二 逻辑代数基础:
1 逻辑代数的三种基本运算:
1.1逻辑函数:
对于任何一个电路,若输入逻辑变量A、B、C、。。。的取值确定后,其输出的逻辑变量F的值也被唯一的确定了,则可以称F是A、B、C。。。的逻辑函数。

1.2 三种基本的逻辑运算
与:输入全为真时,输出为真

或:当输入中有针时,输出就为真

非:当输入为真时,输出为假;输入为假时,输出为真。可以用三极管来进行刻画。

1.3 逻辑的表示:
真值表和波形图

2 逻辑代数的基本定律和规则
2.1基本定律
自等律:A与1结果为A;A或0结果为A

重叠率:A与A结果为A;A或A结果为A

互补律:A与A非结果为0;A或A非结果为1

与普通数相似的运算定律:

分配律1与分配律而互为对偶式。

德摩根反演律:将与运算通过非变为或运算;将或运算通过非变为与运算,该公式可以任意推广。

2.2三个重要的规则:
带入规则:任何一个;逻辑等式,如果将等式两边所出现的某一变量都代之以同一逻辑函数,则等式仍成立,这个规则称之为带入规则。(可以用代入规则来证明德摩根定律的推广)

反演规则:对于任何一个逻辑函数F,如果将其表达式中的所有的运算符“与”换成“或”,“或”换成"与",常量“0”换成“1”、“1”换成“0”;原变量换成反变量,反变量换为原变量,则所得到的结构就是“非F”——原函数F的反函数,或者称为补函数。反演规则是反演律的推广。

对偶规则 :对于任何一个逻辑函数,如果将其表达式F中的所有的运算符“与”换成“或”,“或”换成“与”,常量“0”换成“1”,“1”换成“0”,而变量保持不变,则得出的逻辑表达式就是F的对偶式,记为F*。(注意与反演规则的比较)。任何逻辑函数都存在着对偶式,若原等式成立F=G,则对偶式也一定成立F*=G*。这个可以用来证明分配律的第二条。

2.3常用的一些公式

合并律:如果两个乘积项(与项)分别包含了互补的两个因子(如B与B非),而其他因子相同,那么这两个乘积项称为相邻项。合并律说明,两个相邻项可以合并为一项,消去互补量。

吸收律:

第三项是冗余项。

3 符合逻辑:
3.1符合逻辑运算和复合门
与非:与门与非门的组合F = ^A · ^B

或非:或门与非门的组合F = ^(A+B)

与或非:与门或门和非门的组合F = ^(AB+CD)

异或:如果两个输入不同,,一个为真,一个为假,则输出为真。即异为真!F = ^AB + A^B

同或:如何输入AB相同,同为真或同为假,则输出为真。即同为真!F = ^A^B + AB

异或和同或既满足反演规则,又满足对偶规则。

常用异或、同或运算

其中第一个式子可以用作控制信号的输入。对异或来说,控制信号为0时,输出于输入相同,否则则相反。对于同或来说,控制信号为0是,输入与输出相反;控制信号为0时,输入与输出相同。

3.2逻辑运算符的完备性
对于一个代数系统来说,若仅用它所定义的一组运算符号就能解决所有的运算问题,则称这一组符号就是一个完备的集合,简称完备集。与或非是一个完备集,但是它不是最好的完备集。与非、或非、与或非,这三种复合运算每种都是完备集,而且实现函数只需要一种规格的逻辑门,这就给设计工作带来了许多方便。

用与非门来实现与或非证明完备性

4 逻辑代数里面的两种表达式

4.1最小项表达式——最小项标准与或表达式

(1)n变量的全部最小项的逻辑和恒为1,每一行的和都为1

(2)任意两个不同的最小项的逻辑乘恒为0,

(3)n变量的每一个最小项有n个相邻项

如果在一个与或表达式中,所有“与项”均为最小项,则称这种表达式为最小项表达式。任何一种逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式:只要将真值表中使函数值为1的各项最小项相或,便可以得出该函数的最小项表达式。(由于任何一个函数的真值表是唯一的,因此其最小项表达式也是唯一的。)

4.2最大项表达式

最大项:n个变量的最大项是N个变量的“或项”,其中每一个变量都以原变量或反变量的形式出现过一次。

与最小项相反,对于任何一个最大项,只有一组变量取值使它为0,而变量的其余取值均使它为1.

最大项的性质:

(1)N变量的全部最大项的逻辑与恒为0

(2)N变量的任何两个不同的最大项的逻辑和必等于1

(3)N变量的每个最大项有N个相邻项。例如:(A+B+C)、A'+B+C等

最小项和最大项之间的关系:

逻辑函数的最大项和最小项,相应之间的是对偶的。

如果编号相同:则最小项和最大项之间互为逻辑反函数。

一句真值表写出最大项标准式:如果一个逻辑函数的真值表已给出,要写出该函数的最大项表达式,可以先求出来该函数的反函数,并写出逻辑反函数的最小项表达式,然后将逻辑反函数求反,利用最小项和最大项的互补关系便得到最大项表达式。

4.3总结

任何一个逻辑函数既可以用最小项表达式表示,也可以用最小项表达式表示。如果一个n变量函数的最小项表达式改为最大项表达式时,其最大项的编号必定都不是最响的编号,而且这些最小项和最大项的个数之和为2的n次方。

5逻辑函数代数法化简

6 逻辑函数的卡若图化简法(相邻项)——与真值表一一对应

将N变量的全部最小项各用一个小方格表示,并使具有逻辑相邻(两组取值只有一位不同)的最小项在几何位置上也相邻的排列起来,所得到的图形叫做N变量的卡诺图。

横轴和竖轴分别写出相应的格雷码。

几何相邻:相接,即紧挨着;相对,即任意一行的或一列的两头;相重,即对折起来位置重合。
————————————————
版权声明:本文为CSDN博主「ilgfcyll」的原创文章,遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接:https://blog.csdn.net/ilgfcyll/article/details/79598228

评论
暂无任何评论
已成功加入购物车!