数字设计基础与应用 第1章 数字逻辑基础 1.3 逻辑代数基础 1.4 逻辑函数的表述方式

硬知❤知知 2019-09-09 13:34
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教材:数字设计基础与应用 第二版 邓元庆 关宇 贾鹏 石会 编著 清华大学出版社 

1.3逻辑代数基础
1、逻辑代数(logic algebra)又称布尔代数(Boolean algebra),由George Boole于1849年提出,是用于研究逻辑变量与逻辑运算的代数系统。

2、逻辑变量(logic variable)是逻辑代数中的变量,用字符或字符串表示,且只有两种取值:0和1。这类逻辑值可以直接表示开关的闭合和断开,指示灯的亮与灭、命题的真与假这类只有2种取值的事件。

3、基本的逻辑运算
(1)与(AND)。“所有前提都为真,结论才为真”,称为与逻辑。与运算也称逻辑乘,记为L=A·B=AB。由真值表得:0·0 = 0、0·1 = 0、1·0 = 0、1·1 = 1。
(2)或(OR)。“只要有一个前提为真,结论就为真”,称为或逻辑。或运算也称逻辑加,记作L=A+B。由真值表得:0+0=0、0+1=1、1+0=1、1+1=1。
(3)非(NOT)。非就是否定,对全部逻辑变量取反。其运算规则为:。逻辑变量A的非记为或A’。为了方便,本文档一般记作A’。
三种基本逻辑运算的先后顺序是:NOT > AND > OR。

4、逻辑变量通过逻辑运算构成逻辑函数。例如L=AB中,A、B是自变量,L是关于A、B的函数。可见,逻辑函数的取值也只有0、1两个值。数字电路中,逻辑代数中的自变量和函数分别用于表示电路的输入、输出信号。

5、与、或、非三种运算构成了逻辑运算的完备集——通过这三种运算可以构造出任何逻辑表达式。但是如果只有这三种逻辑门构成的逻辑电路却不够方便。人们在基本逻辑运算的基础上,定义了与非、或非、与或非、异或、和同或这几种新的逻辑运算,并制作出了对应的逻辑门。这些逻辑运算称为复合逻辑运算。
下表给出了常用的复合逻辑运算与对应的逻辑门。三种逻辑门从上到下分别为国标(GB4728.12-85)、美标(MIL-STD-806B)、原部标(SJ1223-77)的表示法。

这8种运算中,除了NOT是单变量的运算符,其余都是多变量运算符。其中,异或和同或运算分别对参与运算的1、0数量的奇偶性敏感。多个变量异或时,奇数个1运算的结果为1。多个变量同或时,奇数个0的运算结果为0。

6、逻辑代数的基本定律如下表:

交换律、结合律、分配律与代数中的相应定律类似。其中反演律又称为德摩根律(De Morgan’s Law),是逻辑运算的基本定律中最重要的定律。

7、证明逻辑等式有两种方法:
一是真值表法,将每个自变量的取值的全部可能的组合都列表,然后计算这些情况中等式两侧的值,如果全都相等,则原等式成立。
二是公式法(表达式变换法),运用上述规则进行恒等变换,若能变换到等式两边相同,则成立。
变换时一般用A+A’=1、A=A·1、A+0=A、A’’=A等恒等式来将表达式中不存在的某项A或A’构造出来,方便结合其它定律变换。
例1-15中注意等式1+A=1可以用于中途一些步骤的化简。

8、逻辑代数的3个运算规则:
(1)代入规则。对任何逻辑等式,其中的任意一个逻辑变量都可以代入逻辑函数(多个变量的表达式)。例如:对等式,把B+C代入B,就有,就得到反演律的三变量形式。
(2)对偶规则。将逻辑表达式F中的·和+全部对调,常量0、1也对调,就得到新的函数表达式F’(或Fd),该表达式和原表达式互为对偶式。注意,变换成对偶表达式时,不能改变原表达式的计算次序。必要时,需要在过程及对偶式中补充括号以强制与原运算顺序不变。与非和或非是对偶的,异或和同或也是对偶的。上表的公式1和公式2互为对偶。
对偶规则:如果两个逻辑函数相等,则对偶表达式也相等。
(3)反演规则。在对偶表达式的基础上将原变量和反变量互换,就得到反函数。反函数的取值与原函数相反,反函数记为或F’。也就是说,反演规则:将逻辑表达式F中的·和+全部对调,常量0、1也对调,原变量和反变量也对调,就得到了取值永远与F相反的反函数。
例1-18中,中的是一个整体。

1.4逻辑函数的描述方式
1、逻辑函数的基本表示方法有两种:表达式与真值表。

2、逻辑门是用于实现逻辑运算的电路。因此,对任意函数表达式,都能画出相应的电路图,称为逻辑图。为了获得尽量简单的电路,应该尽可能化简函数表达式。化简的结果可能不唯一。

3、积之和(Sum of products,SOP)式也称与-或式,是若干个积的和(逻辑加)。乘积项就是几个自变量的与(逻辑乘)运算。自变量允许携带取反符号。最小项(minimum term)也称标准积项,包含全部的自变量,每个自变量以原型或反变量的形式仅出现一次。n个自变量最多构成2n个不同的最小项。最小项也可以用mi表示。i代表使该最小项为真的唯一取值(十进制)。例如:A、B、C可以构成最小项A’B’C’、A’B’C、A’BC’、A’BC、AB’C’、AB’C、ABC’、ABC。三个变量分别取000、001、010、011、100、101、110、111时,对应的最小项才为真,于是这8个最小项也写成m0、m1、m2、m3、m4、m5、m6、m7。
例:假设F(A,B)=A’B+AB’,则F(A,B)=m1+m2=Σm(1,2)。
最小项表达式也叫标准积之和式(标准表达式),因为每个逻辑函数的值都与其最小项表达式的值相等。另外,一个逻辑函数的最小项表达式是唯一的。这里不予证明,具体方法请对照《离散数学》中证明任何命题公式的主析取范式唯一的方法。
要求函数的标准表达式,应先转化为积之和式再转化为标准表达式。
如果已知真值表,那么根据真值表中全部为1的行可以迅速写出最小项表达式。

4、和之积式也称或-与式,是若干个和的积。和项就是几个自变量的或运算(逻辑加)。自变量允许携带取反符号。最大项(maximum term)又称标准和项,包含全部的自变量,每个自变量以原型或反变量的形式仅出现一次。n个自变量最多构成2n个不同的最大项。最大项也可以用Mi表示。i代表使该最大项为假的唯一取值(十进制)。
最大项表达式中含有的项的下标与最小项表达式互补。例如:
设F(A, B, C)=m0+m1+m3+m6,则F’(A, B, C)=M2+M4+M5+M7=ΠM(2,4,5,7)。一个逻辑函数的最大项表达式也是唯一的。
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